一個經典的問題：一群人之中，出現兩人生日同一天的機率有多高？ 感覺上，機率應該很低？因為生日有 365 種 (先排除 2 月 29 日，因為這天生日的機率是其他日期的 $\frac{1}{4}$，4年一閏才有 2 月 29 日)，數量並不少。 首先，「一群人」是什麼意思？ 我們考慮幾種情況： 「沒有人」、「一個人」的情況沒有太大的意義。畢竟題目是問「兩人生日同一天」，至少要兩個人。 我們先看一種情況，366 人，也就是人數比所有可能生日的總數多 1。 這個情況下，至少有兩個人生日同一天，也就是題目所問的機率為 100%。 為什麼？ 先從 366 人中隨意挑出一人，小明。 剩下的 365 人，按照生日前後順序給一個編號。有沒有可能讓所有人的生日都不同？可以的 $$ \begin{array}{c | c} \text{No} & \text{Birthday} \\ \hline 1 & 01/01 \\ 2 & 01/02 \\ \vdots & \vdots \\ 31 & 01/31 \\ 32 & 02/01 \\ \vdots & \vdots \\ 365 & 12/31 \end{array} $$ 一個蘿蔔一個坑，365 個人把 365 種生日用完了。不論小明生日是哪一天，一定在表上的某一格。也就是一定和那一格編號的人有相同的生日。 這就是所謂的「鴿籠原理」。 可以了解，當人群的個數大於或等於 366 時，出現兩人生日同一天的機率一定是 100%。 接著看 365 人的情況。人數和生日數一樣多。 365 人，若沒有任何限制，總共有多少種生日的組合？ 每個人可以任意選 365 種的其中一種，因此有 $$ 365^{365} $$ 種可能。 我們反過來問，365 人之中，「沒有」任何兩人同一天生日的機率是多少？ 如果知道沒有任何兩人同一天生日的機率，用 100% 減去這個機率，就得到至少有兩人同一天生日的機率。 類似上述 366 人的情況，我們讓這 365 人的生日都不同就好了。 第一個人有 365 種選擇，第二個人不能和第一個人相同，因此有 364 種選擇...