$9^{100}$ 和 $10^{99}$ 哪一個比較大？ 因為 log 函數是個遞增函數，也就是說，如果 $0 \lt x \lt y$，則 $\log x \lt \log y$。 我們看兩個函數，$a \gt 1$ $$ f(x) = a^{x+1} \\ g(x) = (a+1)^x $$ 兩個函數取 log $$ \log f(x) = (x+1)\log a = x\log a + \log a\\ \log g(x) = x \log(a+1) $$ 得到兩條直線， $\log f(x)$ 對應的直線，斜率是 $\log a$ $\log g(x)$ 對應的直線，斜率是 $\log(a+1)$ 斜率較大的直線函數，隨著 $x$ 愈大，一定會在某個點超越斜率較小的直線函數，分道揚鑣之後一去不回頭。 因此 $$ 10^x $$ 會在 $x$ 大於某個值之後，比 $$ 9^{x+1} $$ 大。 這個值透過等式 $$ x\log 9 + \log 9 = x\log 10 $$ 可得 $$ x = \dfrac{\log 9}{\log 10 - \log 9} \approx 20.85 $$ 因此，$9^{21}\gt 10^{20}$，$9^{22}\lt 10^{21}$，$9^{23}\lt 10^{22}$、、、， 原本的問題，$9^{100}\lt 10^{99}$。 事實上，由於斜率的絕對性影響，$9^{x+b}$，不論 $b$ 多大，終究會被 $10^x$ 超越。 例如，連 $9^{103}$ 都還比 $10^{99}$ 小。 底比別人大一點，只要時間夠久，晚一點起步還是會贏。 $$ \lim_{x\rightarrow\infty} ((a+1)^x - a^{x+b}) = \infty\hskip2em a\gt0,b\gt0 $$ 再看一個特殊的情況。 $x^{x+1}$ 和 $(x+1)^x$，何者較大？ 解以下的等式 $$ x^{x+1} = (x+1)^x $$ 整理可得 $$ x = (1 + \dfrac{1}{x})^x $$ 視為求兩個函數圖形的交點 $$ \begin{eqnarray} \left\...