吐司的焦黃

有個著名的問題，Monty Hall Problem。Monty Hall 是一位電視節目(Let's Make a Deal)主持人。節目中有個遊戲，三道門的其中一道，門後是一輛車，其他兩道門，門後是一隻羊。遊戲參賽者要猜哪一道門後是車，猜中即可獲得一輛車作為獎品。若猜中的門後是羊，則沒有任何獎品。 🚗 🐐 🐐 參賽者先選一道門，接著主持人打開另一道門，後面是一隻羊，然後問參賽者要不要換。參賽者可以維持原本的選擇，或選另一道門。 令人驚訝的是，選另一道門會大大提高抽中車的機會。 我們先用電腦模擬一下(javascript)： function runSimulation() { const numRuns = parseInt(document.getElementById('numRuns').value, 10); let C1 = 0; // count keeping choice and winning the car let C2 = 0; // count switching choice and winning the car for (let i = 0; i 模擬次數: 開始模擬 讓車子、羊的位置固定，隨機抽一個位置。抽中的位置可能是車子，可能是羊。如果抽中車子，不換才能中車子；如果抽中羊，主持人會打開另一道有羊的門，換了一定中車子。這是抽中車子唯二的方式，且兩者互斥。 等一下！這個模擬好像不太對？讓車子固定在第一個位置，和真實的情況不同。 把車子的位置也隨機換一下： function runSimulation() { const numRuns = parseInt(document.getElementById('numRuns').value, 10); let C1 = 0; // count keeping choice and winning the car le...

貝氏定理(Bayes' theorem)是一個用途很廣的規則。Google 一下關鍵字，會發現有非常多相關的資料。 定理長這個樣子: $$ P(A|B) = \dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ 其中 $P(\cdot)$ 表示機率，其值在 0 到 1 之間。$A$、$B$ 表示隨機事件，可以想成某一件事，某一種狀態，且事件之間沒有特定的相依關係。 $P(A|B)$ 稱為條件機率，顧名思義，它是帶有條件的機率定義，代表事件 $B$ 成立的前提下，$A$ 事件成立的機率： $$ P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} $$ 貝氏定理是集合論導出的結果，意義上的重點是，在事件 B 成立的前提下，事件 A 的機率可以藉由「若事件 A 發生，事件 B 發生的機率」來算出。你買樂透中頭獎的機率，可以從中頭獎的話，你買樂透的機率算出？這兩種機率感覺一樣低啊！當然，這不是一個好的例子，因為買樂透和中樂透有相依性，不買一定不會中！一個比較好的例子是，果農採收了蘋果、番茄、芭樂各若干顆，閉著眼睛從裡面拿一顆，「如果是紅的，則它是蘋果的機率」，可以從「如果是蘋果，它是紅色的機率」來算出，是不是好算多了？ $P(A)$ 和 $P(A|B)$ 的大小沒有絕對的關係。其實，$P(A) = P(A|B\cup \overline B)$。 $P(A\cap B)\le P(A)$ 沒錯，因為條件越嚴格，符合條件的情況越少。但 $P(B)$ 可大可小。 例如，$A$ 表示路上經過你眼前白色的車子，$B$ 表示路上經過你眼前的休旅車。假設 $P(A) = 0.3$ $P(B) = 0.4$ $P(A\cap B) = 0.2$ 則 $$ P(A|B) = \dfrac{0.2}{0.4} = 0.5 $$ 也就是說，路上經過你眼前白色的車子的機率是 0.3。 而路上經過你眼前的是休旅車的話，白色的機率是 0.5。也就是說，只看休旅車，平均兩台就有一台是白的。 把貝氏定理寫成這樣 $$ P(A|B) = P(A)\dfrac{P(B|A)}{P(B)} $$ 假設有某個隨機事件 $H$ 表示某個猜測，隨機事件 $E_1, E_2, \cdots$ 表示某種與 $H$ 相關的證據，根據貝氏定理 ...