吐司的焦黃

看一個計算過程： $$ x -1 = x + 2 \\ \Rightarrow (x-1)^2 = (x+2)^2 \\ \Rightarrow x^2 - 2x +1 = x^2 + 4x + 4 \\ \Rightarrow -6x = 3 \\ \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$ 每一步似乎都合理。但是，將答案代回原本的等式 $$ -\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{3}{2} \neq -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} $$ 並不成立，答案是錯的。 事實上，原式是無解的 $$ x -1 = x + 2 \\ \Rightarrow -1 = 2 \text{ (不成立)} $$ 不論 $x$ 是什麼數，原式都是錯的。 為什麼第一種算法能算出 $x = -\dfrac{1}{2}$ ？因為「等號兩邊同時平方」改變了原本等式 $$ p = q $$ 兩邊平方 $$ p^2 = q^2 $$ 等號依然成立，但同時增加了另一種可能 $$ p = -q $$ 因為 $$ p^2 = (-q)^2 = q^2 $$ 所以 $p^2 = q^2$ 包含了兩種情況 $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p = q \\ \text{or} \\ p = -q \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 對照原本的問題，經過等式兩邊平方，擴大了原本的等式，變成 $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x-1 = x+2 \\ \text{or} \\ x-1 = -(x+2) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 其中，擴大而來的第二種情況 $x-1 = -(x+2)$，對應了 $x = -\dfrac{1}{2}$，並非原本的等式。 對等式兩邊進行相同的運算，可...

如何用一個數字代表一群數字？ 一個方法是，從中挑選一個。挑選的依據可以是 隨機挑選 最小值 中間值 最大值 第 $k$ 個值 出現次數最少的值 出現次數最多的值 出現次數為 $k$ 的值 不連續的值 最接近某個數的值 ... 或者透過某種運算得到，例如 算術平均數：$AM(x_i) = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ 幾何平均數：$GM(x_i) = (x_1\cdot x_2 \cdots x_n)^\frac{1}{n}$ 調和平均數：$HM(x_i) = n\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots + \dfrac{1}{x_n}}$ 平均數在某些條件下保留了群體的性質。 算術平均數可以反推群體的總和： $$ AM(x_i) \cdot n = x_1+x_2+\cdots+x_n $$ 幾何平均數可以反推群體的總乘積： $$ GM(x_i)^n = x_1\cdot x_2 \cdots x_n $$ 調和平均數可以反推群體的倒數總和： $$ \dfrac{n}{HM(x_i)} = \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots + \dfrac{1}{x_n} $$ 算術平均數在日常生活中經常被使用。一群人用餐，分擔餐費時，若希望每人付一樣的金額，可用算術平均數算出金額。最棒的是，餐廳可以拿到正確的總額。 幾何平均數比較不常用。 一個長、寬、高分別為 8cm，25cm，5cm 的蛋糕，若希望用相同份量的材料，製作正方體形狀的蛋糕，正方體的邊長是幾何平均數 $$ \sqrt[3]{8 \times 25 \times 5} = 10 $$ 為 10cm。 投資股票，第一年、第二年、第三年的報酬率分別是 5%，12%, 7%，則平均報酬率是個幾何平均數 $$ \sqrt[3]{1.05 \times 1.12 \times 1.07} \approx 1.08 $$ 約 8%。最棒的是，平均報酬率可以算出歷年累積的總報酬率。 $$ 1.08^3 = 1.05 \times 1.12 \tim...

問題： A、B 兩隊各有 3 人，照順序一對一比腕力，A 隊 1 號和 B 隊 1 號比，如果 A 隊 1 號贏了，就繼續和 B 隊 2 號比，輸了，就換 A 隊 2 號和 B 隊 1 號比。一定有輸贏，沒有平手。如此進行，直到其中一隊所有隊員都輸了為止。問：總共有多少種比賽結果？ 分析： 先找幾個例子，看 B 隊輸的結果有哪些。 一個最簡單的情況，A 隊 1 號 (簡稱 $A_1$，以此類推)一路過關斬將，打敗所有 B 隊成員。若列出敗者，就表示一種結果： $$ B_1 B_2 B_3 $$ 接著考慮 A 隊只有 $A_1$ 比輸的情況下，B 隊輸。$A_1$ 可能在第 1 場輸，第 2 場輸，或第 3 場輸，分別對應以下的敗者序列： $$ A_1 B_1 B_2 B_3 \\ B_1 A_1 B_2 B_3 \\ B_1 B_2 A_1 B_3 $$ 可看出是把 $A_1$ 插進 $B_1 B_2 B_3$ 之中 $$ \Box B_1 \Box B_2 \Box B_3 $$ 共有 3 種選擇。 仿照以上方式，再來考慮 A 隊只有 $A_1$，$A_2$ 比輸的情況下，B 隊輸。如前述，$A_1$ 可能在第 1 場輸，第 2 場輸，或第 3 場輸，每一種情況皆對應多種 $A_2$ 輸的順序： $$ \begin{matrix} A_1 A_2 B_1 B_2 B_3 \\ A_1 B_1 A_2 B_2 B_3 \\ A_1 B_1 B_2 A_2 B_3 \\ \hline B_1 A_1 A_2 B_2 B_3 \\ B_1 A_1 B_2 A_2 B_3 \\ \hline B_1 B_2 A_1 A_2 B_3 \end{matrix} $$ 共有 $3+2+1 = 6$ 種。 不可能發生 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 都比輸而 B 隊輸的情況。因此 B 隊的輸法共有 $1 + 3 + 6 = 10$ 種。 由於 A 隊、B 隊人數一樣，基於對稱性，A 隊的輸法一樣是 10 種。不是 A 隊輸，就是 B 隊輸，所以比賽的結果共有 20 種。 另一種想法。 一種「輸法」，剛好有一個「兩隊所有隊員的排列」對應。例如，以下 B 隊的輸法 ...

我們從小到大，學語文，學數學。學了語文，可以溝通。學了白話文，還要學文言文。學了中文，還要學英文、日文、、、等等外語，還有各式各樣的程式語言。為什麼要學這麼多種語文？因為溝通的系統不只一種，且由不同人或個體，在不同場景使用。使用相似系統，才能有效溝通。溝通是什麼？在最基本的層次，溝通是物質或能量的傳遞，在更高的層次，溝通可以是任何有形或無形的傳遞。一般語文的使用場景，多半是感官所及之處的直接或間接對應：看到的、聽到的、聞到的、想到的、感覺到的，與外界進行物質或能量的傳遞。數學呢？數學能做什麼？算術可以讓我們買東西的時候，知道把整個購物車帶出去要花多少錢，知道收銀員找給你的錢對不對；和朋友聚餐，知道一個人要分擔多少錢。生活中似乎這些數學就夠用了，為什麼還要學幾何、代數、微積分？其實，數學也是一種語文，學數學一樣是為了溝通，溝通的是世界萬物的法則。數學的使用場景和一般的語文有些不同，是抽象的法則。這些法則當然是人直接或間接想出來的，有些來自感官的發現，有些來自憑空的想像，而法則之間必須維持毫無妥協的一致性，這種一致性，一般的說法就是邏輯，也就是所謂的真與假。法則之間存在堅不可摧的邏輯。算術的法則如加、減、乘、除，是非常明確的，1+1永遠等於2，$\dfrac{1}{2}$ 永遠等於 $\dfrac{3}{6}$，0 永遠不等於 1。在邏輯的基礎上，數學的法則與世界萬物的運作極度相似，拿 1 個橘子，再拿 1 個橘子，就得到 2 個橘子；1 個披薩平分給 2 個人，每個人分到的量，和 3 個披薩平分給 6 個人，每個人分到的量一樣多。在某種程度上，數學的法則可以用來模擬萬物的運作，能夠模擬，就能夠預測。這種預測的能力，解決了某些問題，為人們帶來安全感。為了預測更多、更準確，更快，就需要更合適的法則。學數學的目的，在於得到預測萬物運作的能力。 有人會說，我不想預測，不想知道那麼多，所以我不想學數學！這是完全沒有問題的，人算不如天算，感受萬物的運作並做出回應，是很自然的生活方式。然而，預測的能力帶來權力，有權力就有影響力。總會有些人渴望影響力。權力的來源很多，財富也能帶來權力。不同的權力帶來不同的影響力。因此，如果你渴望預測能力帶來的影響力，又不想學數學，透過財富，可以讓渴望財富的人幫你學數學，幫你間接得到預測的能力。 很多人認為數學很難，其實這是一個相對性...