$\dfrac{1}{3}$ 可以表示為無窮循環小數 $0.333\cdots$，我們再熟悉不過。 這是十進位的表示方法，也就是 $$ \dfrac{1}{3} = 3 \cdot \dfrac{1}{10} + 3 \cdot \dfrac{1}{10}^2 + \cdots + 3 \cdot \dfrac{1}{10}^k + \cdots $$ 一個 $\dfrac{1}{10}^k$ 的項，對應一個小數的位置，前面的數字 $(3,3,\cdots)$ 拉出來成為小數的數字。 3 3 3 $\cdots$ $\dfrac{1}{10}$ $\dfrac{1}{10}^2$ $\dfrac{1}{10}^3$ $\cdots$ 等號右邊是一個無窮等比級數，利用等比級數公式 $$ 3 \cdot \dfrac{1}{10} + 3 \cdot \dfrac{1}{10}^2 + \cdots + 3 \cdot \dfrac{1}{10}^k = 3\cdot\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{10}^k}{1-\dfrac{1}{10}} $$ 當 $k$ 越大，$\dfrac{1}{10}^k$ 越接近 0， $3\cdot\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{10}^k}{1-\dfrac{1}{10}}$ 越接近 $3\cdot\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10}} = \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{10}{9} = \dfrac{1}{3}$ 結果一致。 有另一種方法，可以把 $\dfrac{1}{3}$ 表示成形如 $a_k \cdot 5^k$ 的級數，也就是 $$ \dfrac{1}{3} = a_0 + a_1\cdot 5 + a_2\cdot 5^2 + \cdots + a_k \cdot 5^k + \cdots \\ 0 \le a_k \lt 5 $$ 怎麼可能？等號右邊的項一個比一個大，一路加下去肯定不會靠近任何數啊！也就是說，這是一個發散的級數。 ...