吐司的焦黃

問題： 奶奶的年齡和孫子的年齡剛好顛倒(例如：奶奶 81 歲，孫子 18 歲)，在兩人的一生中，最多可能出現幾次年齡顛倒？ 先假設兩人最多活到 99 歲，對於人類來說，算是合理的假設。如此，兩人的年齡可以用一個兩位數的十進位數字表示 假設奶奶的年齡的十進位表示為 $ab$，$0\le a,b \le 9$，孫子的年齡則為 $ba$。 這樣的表示之下，奶奶的年齡為 $10a+b$ 歲，孫子的年齡為 $10b+a$ 歲 若兩人的年齡差為 $c$ 歲，則 $$ 10a + b - (10b + a) = c \\ \Rightarrow 9a - 9b = c \\ \Rightarrow 9(a-b) = c $$ 得到一個重要的結果：兩人年齡的差距必須是 9 的倍數！ 如前面的例子，奶奶 81 歲，孫子 18 歲，兩人相差 81 - 18 = 63 歲。 可以猜測，符合這樣條件的組合，不會太多。整理成表格： $$ \begin{array}{c|c|l} c & a - b & [a,b] \\ \hline 0 & 0 & \text{兩人同年齡，不合理} \\ 9 & 1 & \text{兩人只差 9 歲，不合理} \\ 18 & 2 & \text{兩人只差 18 歲，不合理} \\ 27 & 3 & \text{兩人相差 27 歲，有點勉強} \\ 36 & 4 & [4,0],[5,1],[6,2],[7,3],[8,4],[9,5] \\ 45 & 5 & [5,0],[6,1],[7,2],[8,3],[9,4] \\ 54 & 6 & [6,0],[7,1],[8,2],[9,3] \\ 63 & 7 & [7,0],[8,1],[9,2] \\ 72 & 8 & [8,0],[9,1] \\ 81 & 9 & [9,0] \end{array} $$ 可知兩人的年齡差距越小，一生中年齡互為顛倒的次數越多，似乎符合常理。 在設定的條件下，當兩人的年齡差 36 歲時(例如，奶奶 ...

一個國中數學問題：等腰梯形 $ABCD$，$\overline{AB} = \overline{CD} = 3$，$\overline{BC} = 4$，$\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 垂直，求 $ABCD$ 面積。 先利用幾何的方法。因為 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 垂直，且 $ABCD$ 是等腰梯形，因此 $\triangle BEC$，$\triangle AED$ 都是等腰直角三角形，根據畢氏定理，可得 $\overline{BE} = \overline{EC} = \frac{4}{\sqrt{2}}$。 因為 $\triangle{ABE}$ 是直角三角形，根據畢氏定理，可得 $\overline{AE} = 1$，以及 $\overline{AD} = \sqrt{2}$。過 $E$ 做一直線分別交 $\overline{AD}$、 $\overline{BC}$ 於 $F$、$G$，且垂直 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$ 可知 $\triangle AFE$，$\triangle BGE$ 都是直角三角形，且 $\overline{FG}$ 垂直平分 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$。根據畢氏定理，可求得 $\overline{FE} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\overline{EG} = 2$ 至此，等腰梯形 $ABCD$ 的上底 $\overline{AD} = \sqrt{2}$，以及高 $\overline{FG} = 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$ 皆已求出，帶入梯形面積公式，可得面積為 $\big(\sqrt{2} + 4\big)\big(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\times\frac{1}{2} = \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}$。不是很複雜的推導。 另一種求解的方法更簡單。因為梯形 $ABCD = \triangle ABC + \triangle ADC$， $\triangle ABC$ 中，$\overline{AC} \perp \overline{BE}$，$\triangle ADC...

$0.999\cdots$ 和 1 是相等的嗎！ 看起來似乎不太像呀！ $0.999\cdots$ 可以分解成 $$ 0.9 \\ 0.09 \\ 0.009 \\ \cdots $$ 的總和。一項一項加起來，與 1 的差距越來越小 $$ \begin{array}{c|l|l} 項數 & 部分和 & 與 1 的差距 \\ \hline 1 & 0.9 & 0.1 \\ 2 & 0.99 & 0.01 \\ 3 & 0.999 & 0.001 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} $$ 數學上的說法是，對於一個實數的數列(或級數，級數的部分和可以視為數列)而言，如果數列可以任意接近一個數 $a$，那數列的極限值就是 $a$。 「可以任意接近」是什麼意思？就是「要多接近就可以多接近」。接近就行，不必相等。例如，$0.999\cdots$ 可以和 1 差距小於 $0.000\cdots\text{(1萬個 0)}1$ 嗎？ 可以，第一萬零一項就可以符合條件。 因此 $0.999\cdots = 1$ 。 如果用畫圖的方式，這個數列 $$ \begin{array}{c|l|l} 項數 & 部分和 \\ \hline 1 & 0.9 \\ 2 & 0.99 \\ 3 & 0.999 \\ \cdots & \cdots \\ \end{array} $$ 第一項 0.9，就是把一段長度為 1 的線段，分成 10 等分，取其中的 9 等分 第二項 0.99，第一項加上 0.09，就是把剩下的 0.1 分成 10 等分，取其中的 9 等分，加上 如此重複下去，箭號越來越靠近 1。 把 $0.999\cdots$ 定義為 1 的合理性，可以透過其他方式驗證。 $$ 1 \div 9 = 0.111\cdots $$ 我們預期 $$ 0.111\cdots \times 9 = 0.999\cdots $$ 另一方面 $$ 1 \div 9...