吐司的焦黃

問題： 一組天平需要搭配多少砝碼才能測量 1g，2g，...，30g 的物品？ 分析： 一個簡單而明顯的答案是搭配 30 個 1g 的砝碼，將待測物放於天平的一端，另一端逐一將 1g 砝碼放入，直到天平呈現平衡。 砝碼的數量能不能減少？ 利用二進位表示法 $$ \begin{array}{ccccc} 2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\ \boxed{1} & \boxed{0} & \boxed{1} & \boxed{1} & \boxed {0} \end{array} $$ 每個位數代表一個重量 $2^k$g 的砝碼，5 位數可以表示 $$ 0\\ 1 = 2^0 \\ 2 = 2^1 \\ 3 = 2^1 + 2^0 \\ \cdots \\ 31 = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 $$ 因此 5 個砝碼就足夠，分別是 1g, 2g, 4g, 8g, 16g。 這是最少的數量嗎？ 以上用的是 "加法" ，把待測物和砝碼放在天平的兩端，如果用 "減法" 呢？ 例如 $$ \begin{array}{ccccc} \boxed{1} & \boxtimes & & \boxed{3} & \boxed{7} \\ \hline & & \blacktriangle & & \end{array} $$ 把待測物和砝碼放一起並平衡，可得到減法關係 $$ 1 + \boxtimes = 3 + 7 \\ \Rightarrow \\ \boxtimes = 3 + 7 - 1 = 9 $$ 是否可能藉此進一步減少砝碼的數量？ 以 1g, 3g, 7g, 15g 四個砝碼為例，可以量測以下的重量 $$ 1 \\ 2 = 3 - 1 \\ 3 \\ 4 = 1 + 3 \\ 5 = 1 + 7 - 3 \\ 6 = 7 - 1 \\ 7 \\ ...

中國古文有言："行百里者半於九十"。 意思是說，一百里的路程，走到九十里，只能算完成了一半，完成剩下十里的難度，幾乎等同於前九十里的路程。 其他語系也有類似的描述，如 "The last mile is the hardest."。 有另一句話，"萬事起頭難"，或是 "好的開始是成功的一半"。 開始難，完成也難。這是一個普世的現象。 依上述說法，把行走里程和「完成進度」做成關係圖 還沒開始時，進度為零，走到九十里處，進度 50%，走完一百里，進度 100%。 做一些合理的簡化：每走一步，進度不該倒退，因此「進度-里程」關係為一個遞增函數(不必為嚴格遞增)，因此一個可能的函數圖形為 九十里到一百里的進度相對陡峭，對比九十里之前，前進一步，增加非常多的進度。 從這個關係圖似乎感受不到九十里後的「困難」，反而看起來過了九十里後，每一步都變得比之前更加有價值？但實際上，行走百里，一開始必然比較輕鬆，隨著體力消耗，越走越累，越走越慢，時間過去，卻感覺終點沒有變近多少。 我們不禁要問：「進度」究竟是指什麼？ 會不會是「時間」？前面九十里花費的時間，等同於最後十里。這是個合理的設定，符合一般的經驗。 我們假設行走的速度隨著時間變慢，簡化起見，假設變慢的速度，即加速度，為恆定，$V_0$ 為一開始的速度，$a$ 為加速度(負值)，在時間 $t$ 的速度為 $$ V(t) = V_0 + at $$ 在時間 $t$ 時，累積行走的距離為 $$ S(t) = V_0t + \dfrac{1}{2}at^2 $$ 若以時間為進度，假設走完百里的時間為 $T$，則走完九十里的時間為 $\dfrac{T}{2}$ $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rl} 100 &= V_0T + \dfrac{1}{2}aT^2 \\ 90 &= V_0\left(\dfrac{T}{2}\right) + \dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 若把 $V_0$ 當作已知，簡單...

「馬力」及「扭力」是動力系統常見的規格項目之一。例如以下是 BMW G20 318i 的引擎規格 對於內燃機引擎，一般型錄上的描述的是「最大馬力」與「最大扭力」，以及其發生的引擎(曲軸)轉速範圍。 馬力不是一種力，指的是引擎的功率($P$)，即單位時間做的功($W$)。引擎常用的功率單位除了馬力(hp/ps)，還有千瓦 (kW)。 $$ P = \frac{W}{\Delta t} $$ 扭力也不是一種力，指的是力矩，也就是 力$\times$力臂，用來表示旋轉的力道。 $$ T = F \times L $$ 究竟馬力、扭力代表什麼？ 簡言之，馬力代表了車輛的加速能力，扭力則是構成馬力的要素之一，沒有扭力就沒有馬力。 汽油引擎透過燃爆汽油產生力量，推動活塞，轉動曲軸造成力矩，力矩帶動傳動系統，透過槓桿原理放大或縮小力矩，進而在一個速度下轉動車輪，車輪藉著路面摩擦力提供的反作用力加速或減速。 汽油的燃爆間接造成了車輛的移動。 我們做極度的簡化，把傳動系統，如曲軸、飛輪、離合器、變速箱、傳動軸、輪子等等都拿掉，讓汽油燃爆直接把活塞炸飛。活塞能飛多快，要看爆炸產生了多大的力，假設一秒內，一次燃爆產生 10N (牛頓)的力，讓活塞移動了 10cm，根據能量守恆原理，化學能轉成動能，原本靜止的活塞，被加速到 $V_1$， $$ W_1 = F_1d = 10\text{N} \times 0.1\text{m} = \dfrac{1}{2}mV_1^2 $$ 另一種情況，假設一秒內，發生 2 次燃爆，每次燃爆都產生了 5N 的力，讓活塞移動了 10cm，則 $$ W_2 = \sum{F_2d} = 2 \times (5\text{N} \times 0.1\text{m}) = \dfrac{1}{2}mV_2^2 $$ 可得 $W_1 = W_2$，$V_1 = V_2$，兩種情況下，一秒內的平均功率相等，活塞的末速也一樣。也就是說，同樣的時間內，力量減半，頻率加倍，則功率相同，對活塞的加速結果相同。 引擎的扭力與轉速 $f$ (施力的頻率)的乘積，正比於馬力(功率)， $$ P = \frac{W}{\Delta t} = Fd\frac{1}{\Delta t} \propto Fdf = ...