吐司的焦黃

一個經典的問題：一群人之中，出現兩人生日同一天的機率有多高？ 感覺上，機率應該很低？因為生日有 365 種 (先排除 2 月 29 日，因為這天生日的機率是其他日期的 $\frac{1}{4}$，4年一閏才有 2 月 29 日)，數量並不少。 首先，「一群人」是什麼意思？ 我們考慮幾種情況： 「沒有人」、「一個人」的情況沒有太大的意義。畢竟題目是問「兩人生日同一天」，至少要兩個人。 我們先看一種情況，366 人，也就是人數比所有可能生日的總數多 1。 這個情況下，至少有兩個人生日同一天，也就是題目所問的機率為 100%。 為什麼？ 先從 366 人中隨意挑出一人，小明。 剩下的 365 人，按照生日前後順序給一個編號。有沒有可能讓所有人的生日都不同？可以的 $$ \begin{array}{c | c} \text{No} & \text{Birthday} \\ \hline 1 & 01/01 \\ 2 & 01/02 \\ \vdots & \vdots \\ 31 & 01/31 \\ 32 & 02/01 \\ \vdots & \vdots \\ 365 & 12/31 \end{array} $$ 一個蘿蔔一個坑，365 個人把 365 種生日用完了。不論小明生日是哪一天，一定在表上的某一格。也就是一定和那一格編號的人有相同的生日。 這就是所謂的「鴿籠原理」。 可以了解，當人群的個數大於或等於 366 時，出現兩人生日同一天的機率一定是 100%。 接著看 365 人的情況。人數和生日數一樣多。 365 人，若沒有任何限制，總共有多少種生日的組合？ 每個人可以任意選 365 種的其中一種，因此有 $$ 365^{365} $$ 種可能。 我們反過來問，365 人之中，「沒有」任何兩人同一天生日的機率是多少？ 如果知道沒有任何兩人同一天生日的機率，用 100% 減去這個機率，就得到至少有兩人同一天生日的機率。 類似上述 366 人的情況，我們讓這 365 人的生日都不同就好了。 第一個人有 365 種選擇，第二個人不能和第一個人相同，因此有 364 種選擇...

如圖，一個邊長為 $l$ 的正方形，被四個圓弧切割，求 $C$ 的面積。 當然，使用積分可以機械化地求出答案。如下圖，以正方形左下角為原點，紅色弧線的方程式為 $y=\sqrt{l^2 - (x-l)^2}$，交點座標 $s(l - \frac{\sqrt{3}}{2}l,\frac{l}{2})$，$t(\frac{l}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}l)$ 如下圖，紅色區塊的面積為 $$ \int_s^t \sqrt{l^2 - (x-l)^2} - \frac{l}{2} dx = l^2(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) $$ 根據圖形的對稱性， $C$ 的面積為 4 倍紅色區塊的面積 $$ C = l^2(\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}) \approx 0.315l^2 $$ 不到圓的 $\frac{1}{3}$。 能不能不用積分，用國小學生能了解的方法解答？ 先看一個類似的、單純一點的問題： 一個邊長為 $l$ 的正方形，被兩個圓弧切割，求 $R$ 的面積。 可以看出 $R$ 是兩個 $\frac{1}{4}$ 圓交集的部分 兩個 $\frac{1}{4}$ 圓交疊，面積總和等於正方形的面積再加上 $R$ 的面積，因此 $R$ 的面積，等於兩個 $\frac{1}{4}$ 圓的面積，減去正方形的面積 $$ R = 2 \cdot \frac{\pi l^2}{4} - l^2 \\ = l^2(\frac{\pi}{2} - 1) \approx 0.57l^2 $$ 比正方形的一半大一些。 回到原本的題目，如果只知道正方形、三角形、圓形(扇形)的面積公式，要怎麼切出 $C$ 呢？ 如下圖，兩個 $R$ 的交集就是 $C$ $$ 2R - C + 4B = l^2 \label{a-1} \tag{1} $$ 我們還不知道 $B$ 的面積，需要更多的等式。 如上圖，基於對稱性，左右兩圖藍色區域的面積相同（移動一塊尖角）。定義藍色區域的面積為 $E$，則 $$ E = R + B \label{a-2} \tag{2} $$ 以左圖計算 $E$ $\triangl...

$9^{100}$ 和 $10^{99}$ 哪一個比較大？ 因為 log 函數是個遞增函數，也就是說，如果 $0 \lt x \lt y$，則 $\log x \lt \log y$。 我們看兩個函數，$a \gt 1$ $$ f(x) = a^{x+1} \\ g(x) = (a+1)^x $$ 兩個函數取 log $$ \log f(x) = (x+1)\log a = x\log a + \log a\\ \log g(x) = x \log(a+1) $$ 得到兩條直線， $\log f(x)$ 對應的直線，斜率是 $\log a$ $\log g(x)$ 對應的直線，斜率是 $\log(a+1)$ 斜率較大的直線函數，隨著 $x$ 愈大，一定會在某個點超越斜率較小的直線函數，分道揚鑣之後一去不回頭。 因此 $$ 10^x $$ 會在 $x$ 大於某個值之後，比 $$ 9^{x+1} $$ 大。 這個值透過等式 $$ x\log 9 + \log 9 = x\log 10 $$ 可得 $$ x = \dfrac{\log 9}{\log 10 - \log 9} \approx 20.85 $$ 因此，$9^{21}\gt 10^{20}$，$9^{22}\lt 10^{21}$，$9^{23}\lt 10^{22}$、、、， 原本的問題，$9^{100}\lt 10^{99}$。 事實上，由於斜率的絕對性影響，$9^{x+b}$，不論 $b$ 多大，終究會被 $10^x$ 超越。 例如，連 $9^{103}$ 都還比 $10^{99}$ 小。 底比別人大一點，只要時間夠久，晚一點起步還是會贏。 $$ \lim_{x\rightarrow\infty} ((a+1)^x - a^{x+b}) = \infty\hskip2em a\gt0,b\gt0 $$ 再看一個特殊的情況。 $x^{x+1}$ 和 $(x+1)^x$，何者較大？ 解以下的等式 $$ x^{x+1} = (x+1)^x $$ 整理可得 $$ x = (1 + \dfrac{1}{x})^x $$ 視為求兩個函數圖形的交點 $$ \begin{eqnarray} \left\...

有個著名的問題，Monty Hall Problem。Monty Hall 是一位電視節目(Let's Make a Deal)主持人。節目中有個遊戲，三道門的其中一道，門後是一輛車，其他兩道門，門後是一隻羊。遊戲參賽者要猜哪一道門後是車，猜中即可獲得一輛車作為獎品。若猜中的門後是羊，則沒有任何獎品。 🚗 🐐 🐐 參賽者先選一道門，接著主持人打開另一道門，後面是一隻羊，然後問參賽者要不要換。參賽者可以維持原本的選擇，或選另一道門。 令人驚訝的是，選另一道門會大大提高抽中車的機會。 我們先用電腦模擬一下(javascript)： function runSimulation() { const numRuns = parseInt(document.getElementById('numRuns').value, 10); let C1 = 0; // count keeping choice and winning the car let C2 = 0; // count switching choice and winning the car for (let i = 0; i 模擬次數: 開始模擬 讓車子、羊的位置固定，隨機抽一個位置。抽中的位置可能是車子，可能是羊。如果抽中車子，不換才能中車子；如果抽中羊，主持人會打開另一道有羊的門，換了一定中車子。這是抽中車子唯二的方式，且兩者互斥。 等一下！這個模擬好像不太對？讓車子固定在第一個位置，和真實的情況不同。 把車子的位置也隨機換一下： function runSimulation() { const numRuns = parseInt(document.getElementById('numRuns').value, 10); let C1 = 0; // count keeping choice and winning the car le...

貝氏定理(Bayes' theorem)是一個用途很廣的規則。Google 一下關鍵字，會發現有非常多相關的資料。 定理長這個樣子: $$ P(A|B) = \dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ 其中 $P(\cdot)$ 表示機率，其值在 0 到 1 之間。$A$、$B$ 表示隨機事件，可以想成某一件事，某一種狀態，且事件之間沒有特定的相依關係。 $P(A|B)$ 稱為條件機率，顧名思義，它是帶有條件的機率定義，代表事件 $B$ 成立的前提下，$A$ 事件成立的機率： $$ P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} $$ 貝氏定理是集合論導出的結果，意義上的重點是，在事件 B 成立的前提下，事件 A 的機率可以藉由「若事件 A 發生，事件 B 發生的機率」來算出。你買樂透中頭獎的機率，可以從中頭獎的話，你買樂透的機率算出？這兩種機率感覺一樣低啊！當然，這不是一個好的例子，因為買樂透和中樂透有相依性，不買一定不會中！一個比較好的例子是，果農採收了蘋果、番茄、芭樂各若干顆，閉著眼睛從裡面拿一顆，「如果是紅的，則它是蘋果的機率」，可以從「如果是蘋果，它是紅色的機率」來算出，是不是好算多了？ $P(A)$ 和 $P(A|B)$ 的大小沒有絕對的關係。其實，$P(A) = P(A|B\cup \overline B)$。 $P(A\cap B)\le P(A)$ 沒錯，因為條件越嚴格，符合條件的情況越少。但 $P(B)$ 可大可小。 例如，$A$ 表示路上經過你眼前白色的車子，$B$ 表示路上經過你眼前的休旅車。假設 $P(A) = 0.3$ $P(B) = 0.4$ $P(A\cap B) = 0.2$ 則 $$ P(A|B) = \dfrac{0.2}{0.4} = 0.5 $$ 也就是說，路上經過你眼前白色的車子的機率是 0.3。 而路上經過你眼前的是休旅車的話，白色的機率是 0.5。也就是說，只看休旅車，平均兩台就有一台是白的。 把貝氏定理寫成這樣 $$ P(A|B) = P(A)\dfrac{P(B|A)}{P(B)} $$ 假設有某個隨機事件 $H$ 表示某個猜測，隨機事件 $E_1, E_2, \cdots$ 表示某種與 $H$ 相關的證據，根據貝氏定理 ...

看一個計算過程： $$ x -1 = x + 2 \\ \Rightarrow (x-1)^2 = (x+2)^2 \\ \Rightarrow x^2 - 2x +1 = x^2 + 4x + 4 \\ \Rightarrow -6x = 3 \\ \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$ 每一步似乎都合理。但是，將答案代回原本的等式 $$ -\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{3}{2} \neq -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} $$ 並不成立，答案是錯的。 事實上，原式是無解的 $$ x -1 = x + 2 \\ \Rightarrow -1 = 2 \text{ (不成立)} $$ 不論 $x$ 是什麼數，原式都是錯的。 為什麼第一種算法能算出 $x = -\dfrac{1}{2}$ ？因為「等號兩邊同時平方」改變了原本等式 $$ p = q $$ 兩邊平方 $$ p^2 = q^2 $$ 等號依然成立，但同時增加了另一種可能 $$ p = -q $$ 因為 $$ p^2 = (-q)^2 = q^2 $$ 所以 $p^2 = q^2$ 包含了兩種情況 $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p = q \\ \text{or} \\ p = -q \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 對照原本的問題，經過等式兩邊平方，擴大了原本的等式，變成 $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x-1 = x+2 \\ \text{or} \\ x-1 = -(x+2) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 其中，擴大而來的第二種情況 $x-1 = -(x+2)$，對應了 $x = -\dfrac{1}{2}$，並非原本的等式。 對等式兩邊進行相同的運算，可...

如何用一個數字代表一群數字？ 一個方法是，從中挑選一個。挑選的依據可以是 隨機挑選 最小值 中間值 最大值 第 $k$ 個值 出現次數最少的值 出現次數最多的值 出現次數為 $k$ 的值 不連續的值 最接近某個數的值 ... 或者透過某種運算得到，例如 算術平均數：$AM(x_i) = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ 幾何平均數：$GM(x_i) = (x_1\cdot x_2 \cdots x_n)^\frac{1}{n}$ 調和平均數：$HM(x_i) = n\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots + \dfrac{1}{x_n}}$ 平均數在某些條件下保留了群體的性質。 算術平均數可以反推群體的總和： $$ AM(x_i) \cdot n = x_1+x_2+\cdots+x_n $$ 幾何平均數可以反推群體的總乘積： $$ GM(x_i)^n = x_1\cdot x_2 \cdots x_n $$ 調和平均數可以反推群體的倒數總和： $$ \dfrac{n}{HM(x_i)} = \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots + \dfrac{1}{x_n} $$ 算術平均數在日常生活中經常被使用。一群人用餐，分擔餐費時，若希望每人付一樣的金額，可用算術平均數算出金額。最棒的是，餐廳可以拿到正確的總額。 幾何平均數比較不常用。 一個長、寬、高分別為 8cm，25cm，5cm 的蛋糕，若希望用相同份量的材料，製作正方體形狀的蛋糕，正方體的邊長是幾何平均數 $$ \sqrt[3]{8 \times 25 \times 5} = 10 $$ 為 10cm。 投資股票，第一年、第二年、第三年的報酬率分別是 5%，12%, 7%，則平均報酬率是個幾何平均數 $$ \sqrt[3]{1.05 \times 1.12 \times 1.07} \approx 1.08 $$ 約 8%。最棒的是，平均報酬率可以算出歷年累積的總報酬率。 $$ 1.08^3 = 1.05 \times 1.12 \tim...